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जोड़, बाकी, गुना, घात के इकाई अंक कैसे ज्ञात करते हैं (Concept of Unit Digit)


इस पोस्ट में हम बात करेंगे इकाई अंक का कॉन्सेप्ट क्या है, इकाई अंक कैसे निकालते हैं? जोड़, बाकी, गुना, घातांक में रिपीटेशन पैटर्न से इकाई अंक निकालना, इकाई अंक निकालने के नियम, फास्टेस्ट ट्रिक्स और साथ ही UPSC CSAT में हाल ही के वर्षों में पूछे गए प्रश्नों को भी हल करेंगे।

यूनिट डिजिट की ट्रिक केवल जोड़ (+), घटाव (−), गुणा (×) में लगती है। भाग (÷) में नहीं लगती।

तालिका सूची

  1. गुणा में इकाई अंक ज्ञात करना
  2. जोड़ में इकाई अंक
  3. घटाव में इकाई अंक
  4. घात (Power) वाली संख्या में इकाई अंक
  5. संख्याओं के घातों के इकाई अंक पैटर्न
  6. 0 से 9 तक के अंकों की घातों का इकाई अंक पैटर्न
  7. घातांक में रिपीटेशन पैटर्न से इकाई अंक निकालना
  8. मिश्र भिन्न का इकाई अंक निकालना
  9. पिछले वर्षों में "इकाई अंक" से पूछे गए प्रश्न

1. संख्याओं के "गुणन" में इकाई का अंक ज्ञात करना

यदि दो, तीन या चार संख्याएँ दी गई हैं, तो उनके गुणनफल में इकाई का अंक ज्ञात करने के लिए उनके इकाई वाले अंक की आपस में गुणा करते हैं और उस गुणनफल का इकाई का अंक ही अभीष्ट इकाई का अंक होता है।

उदाहरण 1: 12*13*14 का इकाई अंक क्या होगा?

$$\begin{aligned} 12 \times &13 \times 14 \\ 2 \times &3 \times 4 \\ 24 &= \boxed{4} \ \ \text{(Unit digit)} \end{aligned}$$

उदाहरण 2: 2994* 2873* 4727 का इकाई अंक क्या होगा?

$$\begin{aligned} 2994 \times &2873 \times 4727 \\ 4 \times &3 \times 7 \\ 12 &\times 7 \\ 2 &\times 7 = 14 \\ &\boxed{4} \ \ \text{(Unit digit)} \end{aligned}$$

2. संख्याओं के "जोड़" में इकाई का अंक ज्ञात करना:

जोड़ में सभी संख्याओं के इकाई अंक को जोड़ा जाता है। ध्यान रहे गुणन में इकाई अंक का गुणन होता है एवं जोड़ में इकाई अंक जुड़ता है।

$$\begin{aligned} 1452 + &738 + 37 \\ 2 + &8 + 7 \\ &\boxed{17} \ \ \text{(Unit digit)} \end{aligned}$$

3. संख्याओं के घटाव में इकाई का अंक ज्ञात करना

घटाव में विभिन्न नकारात्मक संख्याओं के इकाई अंकों को सकारात्मक संख्याओं के इकाई अंकों से घटाया जाता है

उदाहरण 1: 2537-1484 का इकाई अंक क्या होगा?

$$\begin{aligned} 2537 &- 1484 \\ 7 &- 4 \\ &\boxed{3} \ \ \text{(Unit digit)} \end{aligned}$$

उदाहरण 2: यदि इकाई अंक नकारात्मक आए?

जोड़ घटाव की संख्याओं में यदि नकारात्मक संख्या बचे जैसे कि -3 तो उसे 10 से घटाने पर (10-3= 7) वास्तविक इकाई अंक जैसे 7 मिलता है

$$\begin{aligned} 1484 &- 2537 \\ 4 &- 7 \\ &-3 \ \ \text{?} \\ &\text{(In this case, add 10)}\\\\ -3 &+ 10 = 7 \\ &\boxed{7} \ \ \text{(Unit digit)} \end{aligned}$$

4. घात (Power) वाली संख्याओं के इकाई अंक ज्ञात करना

Question: 12x 12x 12x 12x 12x....... (26 बार) या 12²⁶ का इकाई अंक ज्ञात कीजिए।

हल: इसे 12 के इकाई अंक 2 से हल करेंगे।

नोट: 2 की घात या 2^n के इकाई अंक 4 पर रिपीट होते हैं। रिपीट संख्या नीचे सारणियों से पढ़ें।

$$\begin{aligned} {12}^{26} \Rightarrow 2^{26} \Rightarrow \frac{26}{4} = 6\frac{2}{4} ,\ \ \text{शेषफल = 2}, 2² \Rightarrow 4 \ \text{(Unit digit)} \end{aligned}$$

यदि: 12³⁵ का इकाई अंक पूछा जाए?

$$\begin{aligned} {12}^{35} \Rightarrow 2^{35} \Rightarrow \frac{35}{4} = 8\frac{3}{4} ,\ \ \text{शेषफल = 3}, 2³ \Rightarrow 8 \ \text{(Unit digit)} \end{aligned}$$

5. संख्याओं के घातों के इकाई अंक पैटर्न (Unit digit patterns of powers)

2 की घात का इकाई अंक
घातइकाई अंकRepeat
2¹24 बार बाद दोहराता है
2²4
2³8
2⁴6
2⁵2
2⁶4
2⁷8
2⁸6
2⁹2
3 की घात का इकाई अंक
घातइकाई अंकRepeat
3¹34 बार बाद दोहराता है
3²9
3³7
3⁴1
3⁵3
3⁶9
3⁷7
3⁸1
3⁹3
4 की घात का इकाई अंक
घातइकाई अंकRepeat
4¹4सम = 6, विषम = 4
4²6
4³4
4⁴6
4⁵4
4⁶6
5 की घात का इकाई अंक
घातइकाई अंकRepeat
5¹5हमेशा 5
5²5
5³5
5⁴5
5⁵5
5⁶5
6 की घात का इकाई अंक
घातइकाई अंकRepeat
6¹6हमेशा 6
6²6
6³6
6⁴6
6⁵6
6⁶6
7 की घात का इकाई अंक
घातइकाई अंकRepeat
7¹74 बार बाद दोहराता है
7²9
7³3
7⁴1
7⁵7
7⁶9
8 की घात का इकाई अंक
घातइकाई अंकRepeat
8¹84 बार बाद दोहराता है
8²4
8³2
8⁴6
8⁵8
8⁶4
9 की घात का इकाई अंक
घातइकाई अंकRepeat
9¹9विषम = 9, सम = 1
9²1
9³9
9⁴1
9⁵9
9⁶1

घातांक में रिपीटेशन पैटर्न से इकाई अंक निकालना सीखने के लिए ऊपर का व नीचे के प्रश्न ध्यान से देखो।

6. 0 से 9 तक के अंकों की घातों का इकाई अंक पैटर्न:

प्रश्न: 0️⃣ 0²⁴⁷ का या 10²⁴⁷का इकाई अंक क्या होगा?

हल:

जिस संख्या का इकाई अंक 0 है उस पर कितनी भी घात लगा दो इकाई अंक 0 ही रहेगा। यदि ये पूछे कि 10²⁴⁷ के अंत में कितने जीरो है तो उत्तर होगा 247.

प्रश्न : 1️⃣ 1³⁴⁹ का इकाई अंक क्या होगा?

हल:

संख्या 1 पर कितनी भी घात (power) लगा दो, इकाई अंक 1 ही रहेगा। उदाहरण के लिए 1³ = 1*1*1 = 1.

प्रश्न : 2️⃣ 2⁷⁵ का इकाई अंक क्या होगा?

हल :

$$\begin{aligned} 2^{75} \Rightarrow \frac{75}{4} = 18\frac{3}{4} ,\ \ \text{शेषफल = 3}, 2³ \Rightarrow \boxed{8} \ \text{(Unit digit)} \end{aligned}$$

प्रश्न : 3️⃣ 3³⁵⁶⁸⁷ का इकाई अंक क्या होगा?

हल :

$$\begin{aligned} 3^{35687} \Rightarrow \frac{35687}{4} = 891\frac{3}{4} , \ \ \text{शेषफल = 3}, 3³ \Rightarrow 7 \ \text{(Unit digit)} \end{aligned}$$

प्रश्न : 4️⃣ 4³⁵⁰ का इकाई अंक क्या होगा?

हल :

यदि 4 की घात सम है तो उस संख्या का इकाई अंक 6 होगा और अगर घात विषम है तो इकाई अंक 4 होगा। ये नियम 334⁶ पर भी लागू होता है एवं 754⁵ पर भी लागू होगा, क्योंकि इकाई अंक 4 है।

$$\begin{aligned} 4^{350} \Rightarrow \text{(power सम)} \Rightarrow \boxed{6} \end{aligned}$$

प्रश्न : 5️⃣ 5⁷⁶⁵⁹⁴ का इकाई अंक क्या होगा?

हल:

जिस संख्या का ईकाई अंक 5 है उस संख्या पर चाहे जो भी घात लगा दो इकाई अंक हमेशा 5 ही रहेगा।

$$\begin{aligned} 5^{76594} \Rightarrow \text{Always 5} \Rightarrow \boxed{5} \end{aligned}$$

प्रश्न : 6️⃣ 6³⁵⁶⁸⁷ का इकाई अंक क्या होगा?

हल :

5 की भांति जिस संख्या का इकाई अंक 6 है उसको चाहे कितनी भी घात लगा दो, उस संख्या का इकाई अंक हमेशा 6 ही रहेगा।

$$\begin{aligned} 6^{35687} \Rightarrow \text{Always 6} \Rightarrow \boxed{6} \end{aligned}$$

प्रश्न : 7️⃣ 7³⁵⁶ का इकाई अंक क्या होगा?

हल :

7 की घात का इकाई अंक 4 पर रिपीट होता है

नोट: जब 4 का भाग पूरा पूरा चला जाए और शेषफल 0 बचे तो 4 की घात लगाकर इकाई अंक ज्ञात किया जाता है।

$$\begin{aligned} 7^{356} \Rightarrow \frac{356}{4} = 89\frac{0}{4} ,\ \ \text{शेषफल = 0}, 3⁴ \Rightarrow 1 \ \text{(Unit digit)} \end{aligned}$$

प्रश्न : 8️⃣ 8³⁷⁶ का इकाई अंक क्या होगा?

हल:

$$ \begin{aligned} 8^{367} \Rightarrow \frac{376}{4} = 94\frac{0}{4} ,\ \ \text{शेषफल = 0}, 8⁴ \Rightarrow 6 \ \text{(Unit digit)} \end{aligned}$$

प्रश्न : 9️⃣ 9³⁷⁶ का इकाई अंक क्या होगा?

हल:

जिस संख्या का इकाई अंक 9 है और घात सम है तो इकाई अंक 1 होगा तथा अगर घात विषम है तो इकाई अंक 9 होगा। ये 4 की भांति है।

उपरोक्त प्रश्न की संख्या में घात सम है

$$\begin{aligned} 9^{376} \Rightarrow \text{(Power सम)} \Rightarrow \text{Always} \ \boxed{1} \end{aligned}$$

7. घातांक में रिपीटेशन पैटर्न से इकाई अंक निकालना:

प्रश्न : (3487)²³⁸⁹ का इकाई अंक क्या होगा?

$$ \begin{aligned} (3487)^{2389} &\Rightarrow 7^{2389} \Rightarrow \frac{2389}{4} = 597\frac{1}{4} \\\\ &\Rightarrow 7^1 \Rightarrow \boxed{7} \end{aligned}$$

प्रश्न : 3³⁷⁶ + 7⁶⁵ का इकाई अंक क्या होगा?

दो जोड़ संख्याओं में हम पहले दोनों के इकाई अंक निकलते है एवं फिर दोनों के इकाई अंक जोड़ देते हैं।

$$ \begin{aligned} 3^{376} \Rightarrow &\frac{376}{4} = 94\frac{0}{4} \Rightarrow 3^4 \Rightarrow \boxed{1} \\\\ 7^{65} \Rightarrow &\frac{65}{4} = 16\frac{1}{4} \Rightarrow 7^1 \Rightarrow \boxed{7} \\\\ 1+7 &\Rightarrow \boxed {8} \ \ \text{Final Unit Digit} \end{aligned} $$

प्रश्न : 9^23³² का इकाई अंक क्या होगा?

इसमें पहले 23³² हल होगा फिर जो भी संख्या बने उसे 9 पर घात लगाया जाता है। लेकिन हमें केवल 9 की घात सम है या विषम का पता लगाना है।
चूंकि किसी भी विषम संख्या पर लगी कोई भी सम घात से बनी संख्या विषम ही होगी इसलिए 9 की घात विषम है।

$$ \begin{aligned} 9^{{23}^{32}} \Rightarrow 9^{{(Odd)}^{32}} \Rightarrow 9^{(Odd)} \Rightarrow \boxed{9} \end{aligned} $$

प्रश्न : (9²³)³² का इकाई अंक क्या होगा?

दिया है: 9²³*²³*²³..... (32 बार)

$$\begin{aligned} a^m \times a^n = a^{m+n} \end{aligned}$$

अर्थात ये 23 को 32 बार जोड़ने से बनी संख्या को 9 पर घात लगाकर हल होगा। लेकिन हमें केवल 9 की घात सम है या विषम ये जानना है।

9 की घात सम है क्योंकि विषम संख्या को कितनी भी सम संख्या बार जोड़ो इकाई अंक सम ही आने वाला है।

$$ \begin{aligned} {(9^{23})^{32}} \Rightarrow 9^{Even} \Rightarrow \boxed{1} \end{aligned} $$

प्रश्न : 8³⁷X 3⁴⁶ X 6⁷⁹ का इकाई अंक क्या होगा?

सभी के अलग अलग इकाई अंक निकालने के बाद सभी इकाई अंक आपस में गुना होंगे।

$$ \begin{aligned} 8^{37} \Rightarrow &\frac{37}{4} = 9\frac{1}{4} \Rightarrow 8^1 \Rightarrow \boxed{8} \\\\ 3^{46} \Rightarrow &\frac{46}{4} = 11\frac{2}{4} \Rightarrow 3^2 \Rightarrow \boxed{9} \\\\ 6^{79} \Rightarrow &\text{Always 6} \Rightarrow \boxed{6} \\\\ 8 \times 9 \times 6 &\Rightarrow \boxed {2} \ \ \text{Final Unit Digit} \end{aligned} $$

8. मिश्र भिन्न का इकाई अंक कैसे निकलें

मिश्र भिन्न वह है जिसमें पूर्णांक भाग + एक उचित भिन्न (Proper Fraction) होता है। मिश्र भिन्न का उदाहरण:

$$ \begin{aligned} 11\frac{2}{4} \end{aligned} $$
मिश्र भिन्न का इकाई अंक उसके पूर्णांक भाग का अंतिम अंक (unit digit) होता है, ना कि पूरे मिश्र भिन्न का। उपरोक्त मिश्र भिन्न का इकाई अंक निकालेंगे तो 1 आएगा।

मिश्र भिन्न इकाई अंक के अन्य उदाहरण :

$$ \begin{aligned} 17\frac{2}{4} \Rightarrow \boxed{7} \text{Unit Digit}\\\\ 29\frac{4}{7} \Rightarrow \boxed{9} \text{Unit Digit}\\\\ 14\frac{2}{3} \Rightarrow \boxed{4} \text{Unit Digit} \end{aligned} $$

9. UPSC CSAT में पिछले वर्षों में इकाई अंक से संबंधित पूछे गए प्रश्न:

प्रश्न: 2023: (57242)⁹*⁷*⁵*³*¹ का इकाई अंक क्या होगा?

हल:

$$ \begin{aligned} {(57242)}^{9*7*5*3*1} \Rightarrow 2^{945} \Rightarrow \frac{945}{4} = 236\frac{1}{4} \Rightarrow 2^1 \Rightarrow \boxed{2} \end{aligned} $$

इकाई अंक से संबंधित प्रश्न गणित की परीक्षाओं—विशेषकर UPSC CSAT, SSC, बैंकिंग और अन्य प्रतियोगी परीक्षाओं—में बार-बार पूछे जाते हैं।

यदि आपने इस पोस्ट को ध्यान से पढ़ा है, तो अब इकाई अंक से जुड़े किसी भी प्रश्न में भ्रम की गुंजाइश नहीं है — अभ्यास करें और आत्मविश्वास से परीक्षा में उतरें।


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बार बार पूछे जाने वाले प्रश्न (FAQs):

इकाई अंक किसे कहते हैं?

इकाई अंक (Unit Digit) किसी भी संख्या का सबसे अंतिम दायाँ अंक होता है। यही वह अंक होता है जो संख्या को पढ़ते समय सबसे आखिर में आता है। उदाहरण के लिए संख्या 274 का इकाई अंक 4 है।

इकाई अंक और शून्यांक में क्या अंतर है?

ये दोनों अलग-अलग संकल्पनाएँ हैं। इकाई अंक किसी भी संख्या का सबसे अंतिम (दायाँ) अंक होता है जो 0 से 9 तक की कोई भी संख्या हो सकती है जैसे 265 में 5 इकाई अंक है जबकि शून्यांक वे ‘0’ होते हैं जो किसी पूर्ण संख्या के अंत में आते हैं और संख्या के मान को बढ़ाते हैं जैसे 400 में दो शून्यांक है।

विषम संख्या की सम घात का इकाई अंक कैसा होता है?

यदि संख्या शुद्ध रूप से विषम है और उस पर सम घात लगाई जाती है, तो इकाई अंक हमेशा विषम होता है।

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